Puoi evitare di usare il potenziometro, ma lo devi sotituire con una R fissa tra il pin del contrasto e GND, il valore te lo ricavi una volta che il potenziometro è in posizione ottimale: misuri la resistenza tra il centrale e massa, ed è fatta. Il collegamento ai +5V nei pot di ultima generazione (parlo del tipo che stai usando) è ininfluente.
Come hai fatto i collegamenti? se i fili collegati all'LCD NON sono saldati mettiti l'animo in pace, non vedrai mai nulla.