Olá Tucandrois. Estou um pouco enferrujado em eletrônica, mas acho que posso ajudar.
Segundo o datasheet do TIP120, que pode ser visto neste link
A corrente máxima entre o coletor e o emissor é de 5 A.
Como cada lâmpada é de 10 W e 12 V, cada uma utiliza 0,83 A. Ou seja, se é tudo isso que estou dizendo, então este TIP aguentaria até 6 lâmpadas ao mesmo tempo.
Só não sei dizer se este TIP, quando utilizada a corrente máxima, necessita de algum dissipador. Faça a experiência com apenas 1 e observe o que acontece.
Só que estas lâmpadas, assim como a maioria das lâmpadas, são utilizadas em paralelo. Não em série.
Como na imagem você colocou uma imagem de uma bateria, mas está escrito transformador, fiquei na dúvida se você utilizará corrente contínua ou alternada. Como estou enferrujado em eletrônica, não lembro mais se este transistor funciona normalmente com corrente alternada.
Coloque sim um resistor entre o arduino e o TIP. Tente um resistor de 1K.
Abraços