Ola daquilo que percebi queres alimentar o arduino da rede eléctrica ou em caso de falha desta de uma bateria certo?
Visto que parece teres conhecimentos um pouco limitados(sem ofensa) uma simples solução poderá ser inicialmente alimentas da bateria de 12V com um rele intercalado onde nos pinos de normalmente fechado passas a alimentação da bateria para o circuito do arduino. Depois da alimentação da rede (12V do transformador) quando esta tensão estiver presente abre o rele o que fará cortar a alimentação da bateria e como a tensão da rede estava interrompida no normalmente aberto agora passará a fechado alimentando da rede até que a energia falhe e comute para bateria.
Tenta entender o principio pode estar complicado de entender mas o funcionamento é simples.Posso depois tentar fazer um esquema disso se não perceberes...
Á frente do rele convém ter um condensador na ordem dos 2200uF para aguentar o comutar do rele e um condensador de baixo valor 100nF para comer alguma interferência que seja criada.