Mes "calculs" sont-ils justes et judicieux ?
Oui : je n'ai pas tout vérifié mais les ordres de grandeur sont justes.
Un montage "Darlington" avec deux 2N2222 serait-il une solution viable ?
Oui c'est même la plus viable 
Un point à ne pas manquer dans un montage darlington : tu aura le gain de 2002 que tu cherche mais aussi DEUX Vbe en série.
Donc pour le calcul de la résistance de base il faudra retirer 1.5V cette fois.
La résistance du LCD est de 25 ohm. Même la je ne suis certain de rien.
Il y a de la nuance dans l'air :
Oui : autour de la tension nominale de fonctionnement (soit 5V) le rétroéclairage se comporte comme une résistance.
Non: en dessous d'une tension qui dépend de la composition interne du retroéclairage c'est du n'importe quoi 
.
Je m'explique le retroéclairage est réalisé avec des Led, ou des Del si on parle en français, mais dans les deux cas il y a le mot diode :
LED : light emissing DIODE
DEL : DIODE électroluminescente
Comme je l'ai dit précédemment la diode n'est pas un élément linéaire et elle possède un seuil : 0,7V pour une diode de signal comme une 1n4148 ou une entrée base/émetteur d'un transistor, mais pour une LED/DEL il faut compter 2V à 3.6V selon la couleur.
Il est donc tout à fait normal que la mesure avec un multimètre (faible tension et faible courant) donne n'importe quoi.
EDIT
J'avais pas vérifié mais tu écris :
La sortie du PCF8574 ( Ib ) ne delivre au max que 0,14 mA
Je lit
Symbol | Parameter | Conditions | Min | Typique | Maxi | Unit
IOL |LOW level output current |VOL = 1 V; VDD = 5 V | 10 | 25 | - | mA
IOH |HIGH level output current | VOH = VSS | 30 | ? | 300 | ?A
Ce qui veut dire que le PCF peut absorber (1) jusqu'à 20 mA quand sa sortie est placée à l'état bas (0V) mais quand sa sortie est placée à l'état haut (5V) il ne peut fournir (2) que 0,3 mA au maximum
Les termes anglosaxons consacrés sont :
(1) "sink"
(2) "source"
Dans ton cas avec le darlington cela passe à l'aise.