Der serielle Monitor zeigt die PC-Zeit + 5 Sekunden. Braucht der Mikrokontoller so lange um das Zeitsignal zu empfangen, umzurechnen und dann darzustellen
Nicht unbedingt, kannst du aber so programmieren 
Zum Verständnis:
- der "serielle Monitor" ist der in der IDE, der anzeigt, was der Arduino sendet ?
- "um das Zeitsignal zu empfangen" heisst, den DS1307 über I2C abzufragen ?
Ich schätze mal, jemand hat die Uhrzeit falsch eingestellt ( auf dem PC ? )
Oder deine loop() braucht zu lang bevor das Senden passiert.
Du kannst ja mal einen sketch schreiben, der auf ein Zeichen vom SerialMonitor wartet und mit der frisch gelesenen Zeit des DS1307 antwortet.
Das sollte quasi sofort, deutlich schneller als eine Sekunde gehen.