Quand je regarde le site officiel je trouve cela :
Digital I/O Pins 14 (of which 6 provide PWM output)
Analog Input Pins 6
7 boutons plus 7 dels cela ne fait que 14 pins. Il reste les 6 pins dite "analogiques" qui peuvent aussi fonctionner en numérique.
Donc cela devrait passer avec un UNO même équipé d'une carte d'extension ethernet.
Conseil :
Note noir sur blanc quelles sont les pins utilisées. Je conviens que pour l'ethernet, arduino et les autres constructeurs manquent cruellement de documentation, non de sérieux et de rigueur.
Le plus rapide et le plus sur est de regarder dans la librairie Ethernet quelles pins sont utilisées.
Dresse ensuite ton tableau d'utilisation des pins et tu verra si la carte Uno convient.