Su questo sono un po' più ferrato in quanto lo sto facendo attualmente.
Inanzi tutto devi sapere che per raggiungere un computer dal web devi conoscere il suo indirizzo, nei casi di connessione a internet domestica questo indirizzo viene assegnato in modo più o meno casuale dal provider ad ogni connessione quindi o ti annoti l'indirizzo e speri che non venga cambiato mentre sei fuori oppure ti affidi ad un servizio di ddns (la trattazione di questo argomento è un po' vasta quindi ti consiglio di cercare in rete informazioni).
Una volta che puoi raggiungere "casa tua" ovvero il modem-router che si collega a internet, devi creare una regola di port forwarding sul router stesso per indirizzare il traffico internet su una certa porta all'indirizzo della scheda arduino.
Ti faccio un esempio:
Il tuo indirizzo di rete è 87.123.123.123 (con un ddns puoi fare in modo che tu non debba ricordare questo numero ma un nome tipo miocomputer.pippo.net)
crei sul router una regola in modo che le connessioni in entrata sulla porta 80 (la porta standard per le connessioni http, io per praticità l'ho sostituita con 800) vengano "girate" all'indirizzo 192.168.1.210 (indirizzo della scheda arduino impostato sullo sketch)
A questo punto quando su un browser digiti 87.123.123.123 (o miocomputer.pippo.net) otterrai la pagina di risposta di arduino.
Se scegli di usare una porta diversa dovrai dirlo ad arduino con
EthernetServer server(numero-della-porta)
lo stesso numero dovrai usarlo nell'impostazione del router e sul browser digiterai 87.123.123.123:numero-della-porta.
Spero di essere stato chiaro, altrimenti chiedi pure.