Hallo,
leider schreibst Du nicht, was genau das Problem ist. Ich vermute mal, die SMS kommt nicht an?
Du verwendest das abgewandelte Beispiel der Ethernetlibrary zum Zählen der Arduino-Treffer via Google.
Hat denn das Google-Beispiel funkioniert? Das wäre wichtig um zu wissen, ob Dein Arduino überhaupt ins Internet kommt.
Gut wäre z.B. die per DHCP erhaltene IP Konfig über die serielle Konsole auszugeben.
Code sollte beim Posten auch immer in die entsprechenden Tags gepackt werden. Das vermeidet die zwar hübschen, aber leider etwas störenden Smilies im Text 
Was mir auch noch auffällt ist, das Du zwar auf die IP Adresse von sms77.de verbindest, alleerdings beim HTTP-Request keine Hostnamen übermittelst. Je nach Konfiguration des Webservers der auf der 141.0.16.244 lauscht, kann es sein das dieser Deinen Request ignoriert.
Ergänze mal folgendes im Code:
if (client.connect(server, 80)) {
Serial.println("connected");
// Make a HTTP request:
client.println("GET /?u=benutzer&p=passwort&to=0049160999999999&text=meine%20erste%20nachricht&type=quality&from=sms77.de");
client.println("Host: gateway.sms77.de");
client.println();
}
Laut Dokumentation ist "http://gateway.sms77.de/?u=benutzer&p=...." die korrekte URL. Nur auf IP des Servers zu verbinden bringt da leider noch nichts.
VG,
Mario.