Vamos a ver...
No solo es abrir el puerto...
Tu router tendra aproximadamente 4 bocas rj45, y de el puede colgar sin mas 4 equipos, bien, tu router tiene un ip publica, pongamos por ejemplo:
ip router publica: 214.135.89.35
Tus ordenadores y el arduino por estar detras de un router tendran un ip de clase C o sea una ip de andar por casa, pongamos por ejemplo:
Ip PC con el que lees este foro: 192.168.1.2
Ip del arduino conectado al router: 192.168.1.3
Ip restantes.... 192.168.1.4 al 192.168.1.5
Tu router, del lado casa tiene una ip del tipo C que es la que los PC y el arduino empleara como puerta de enlace o gateway, por ejemplo:
Ip del router interna lado casa: 192.168.1.1
Con lo cual tienes que:
Poner a todos los PC's arduinos y demas una ip que pueden ser las que te he puesto arriba, tambien una mascara de subred del tipo 255.255.255.0 y ademas una puerta de enlace que tiene que ser la IP del router pero del lado casa, no la publica, o sea, en el ejemplo la 192.168.1.1 porque el puente para que cualquier equipo salga a internet en tu casa es a traves del router y este tiene una IP que es la que tenemos que decirle a los equipos.
Bien con todo esto y añadiendo las IP's de los DNS tendria cualquier equipo configurado para salir a internet, ahora, si quieres que desde internet entren a tu equipo o arduino tienes que crear unas reglas en el router.
Me explico, desde internet a ti solo te ven con la ip publica (214.135.89.35) y hacen llamadas a un servidor web en el puerto 80 para que este sirva las paginas pero la llamada la hacen a la ip publica o sea a la 214.135.89.35 pero tu servidor web esta escuchando, eso si, en el puerto 80 pero esta detras del router, entonces tienes que decirle al router que todas las "llamadas" al puerto 80 las redirija a la ip del arduino, o sea 192.168.1.3
Esto cambia el menu en cada router pero una simple busqueda por tu modelo de router en google te saldra mil paginas para realizar lo que tu quieres que se llama NAT (Network Address Translation)
No hace falta si no quieres que emplees el puerto 80, puedes emplear cualquiera que no este usado simplemente añadiendo a la llamada los dos puntos y el puerto, por ejemplo para el puerto 5900 seria asi:
http://192.168.1.3:5900