Das ist ja eine ganz normale Konfiguration.
Das Shield sollte beim Aufruf im Browser über IP aufrufbar sein.
Fixe IP/DHCP:
standardmässig wird in den Beispielen mit einer fixen IP gearbeitet. Für DHCP muss die entsprechende Bibliothek vorhanden sein. Für die ersten Schritte empfehle ich aber die Standardkonfiguration mit fixer IP.
Wie bereits gesagt, würde ich dies mal in einem separaten Netz testen. Wenn du mit 2 Shields getestet hat, scheint es eher am Netzwerk zu liegen.
Eventuell mal Kabel austauschen oder Arduino und PC am Router umstecken.