Alleine das LCD -Licht zieht schon ca. 200 mA. Die Relais bringen bestimmt auch einiges zusammen.
Die Hintergrund-Beleuchtung würde ich auf jeden Fall unabhängig von den I2C Signalen versorgen.
Die Relais brauchen wohl mehr als 5V*20mA, d.h. müssten auch über Transistoren,vermutlich mit 12V angesteuert werden. Details hängen von deiner Relais-Karte ab, aber deren Stromversorgung kommt sicher nicht aus dem 5V Pin.
Der hat schon mit dem Ethernet-Shield genug zu tun.