Kann mir jemand sagen, welche Spannungen an Miso und Mosi und SCK anliegen?

Das kann man so nicht messen. Diese Daten bzw. Taktleitungen "pulsen" ja im Betrieb, daher wird dir ein einfaches Multimeter irgendeine Spannung zwischen 0 und 5V ausgeben, Rückschlüsse auf Funktion kann man damit noch nicht ziehen. Und die Signale mit einem Oszilloskop oder einem Logic Analyzer zu beobachten verursacht dann wieder zusätzliche Anschaffungskosten.
Kannst du deinen bisherigen Testsketch mal veröffentlichn, vielleicht hängt es ja daran.

Das sind Enable-Eingänge am SD-Kartenhalter, also ist ja eigentlich klar, dass die angeschlossenen Arduino-Pins als Ausgänge definiert sein müssen. Wie hast du denn EN2 gesetzt?

Genau das würde ICH testen. Da ich aber nicht gerade als Referenz herhalten möchte, sollten auch andere meine Analyse des Datenblattes bestätigen bzw. bei Erfordernis negieren...

Jetzt komm ich mir richtig doof vor, dass ich erstmal nur an den Multiplexer gedacht hab...

Musst du nicht! Ich hab im Geiste schon angefangen, die benötigten Pins zu zählen, analoge Ein- und Ausgänge zurechtgelegt und mir ein entsprechendes Programmgerüst vorgestellt.

Hatt die Platine einen weg?

Das glaube ich eher nicht. EN1 soll soweit ich mich erinnere auch beschaltet werde und bewirkt, wenn ich mich recht erinnere, durch ein angelegtes LOW den regulären Betriebsmodus. Ein angelegtes HIGH von >50 ms bewirkt ein Reset. Nun kann es sein, dass da einfach nur ein Pullup diesen Eingang hoch zieht und du am Pin 5V messen kannst.

beim gewünschten LCD Shield musst du aufpassen. Habe es mir auch gekauft und alles versucht dieses länger als 2 Tage am Stück zu betreiben.
Mein Problem bei diesem Shield ist, dass es sich nach etwas mehr als 2 Tagen dauerlauf nicht mehr aktualisieren lässt.
Ein Softwareproblem konnte ich ausschliessen. Es liegt wirklich am eingesetzten Chip beim Display.

Das wiederum kann ich mir gar nicht vorstellen. Das sind doch HD44780 bzw. kompatible LCD-Controller, wie man sie überall findet. Und dass es Serien gibt, die sich nach zwei Tagen nicht aktualisieren lassen klingt schon etwas merkwürdig. Woher weiß denn das LCD, dass zwei Tage um sind?

Beim Arduino ist die Standard-PWM-Frequenz 250kHz, d.h. Du müsstest diese anpassen, damit Du diesen Optokoppler einsetzen kannst.

Einspruch, Euer Ehren!
Die Sprachreferenz meint folgendes:

The frequency of the PWM signal is approximately 490 Hz.

Die 490 Hz habe ich übrigens auch schon selbst gemessen.

Ja, funktioniert problemlos. Mehr Fragen hast du noch nicht?

Vielleicht hast du den bzw. die  Schalter oder Taster falsch angeschlossen, soll ja auch mal vorkommen. Verwendest du externe Pullup- bzw. Pulldown-Widerstände? Kannst ja mal ein Foto deines Aufbaus machen.

Weiterhin erwartet delay() eine unsigned long-Variable für die Pause in Millisekunden, 0.01 ist hier einfach verkehrt. Wenn du 0,01 Sekunden meinst, muss daraus ein delay(10); werden.

... da der Mega8 des UNO ja einen integrierten Oszillator hat.

Ich glaube, da hast du etwas durcheinandergebracht. Der UNO hat durchweg einen Mega328, wenn du im Schalplan über die Bezeichnung Mega8 gestolpert bist, dann ist das die frühere Version des Schnittstellenchips, der mit dem Mega8U2 realisiert wird. Aktuellere UNOs haben dazu den Mega16U2.
Wenn man den Mega328 gern separat betreiben will, geht das am einfachsten mit einem Quarz (16 MHz) und den zugehörigen Kondensatoren.

Quick&Dirty-Methode: Besorg dir den PoE-Adapter für die Ethernet-Shields. Hier findest du das Datenblatt: http://arduino.cc/en/uploads/Main/PoE-datasheet.pdf
An den Pins einer Seite kommen die Adern bzw. Litzen des Netzwerkkabels, an der anderen Seite wird die PoE-Spannung ausgegeben. Mit dem passenden Vorwiderstand und einer LED hast du damit schon ein handliches Testgerät.

Es gibt einerseits Motorshields, auf denen H-Brücken verbaut sind. Mit diesen kann man den Motor sowohl vorwärts als auch rückwärts laufen lassen. Prinzipiell spricht auch wenig dagegen, selbst eine Schaltung dafür aufzubauen. Für kleinere Motoren reicht oftmals schon ein L293D, den man auf eine Lochrasterplatine setzt.
Alternativ kann man auch zwei Servos auf Dauerlauf umbauen, dann entfallen die Elektronikbasteleien größtenteils.

Nein, du musst Serial.read() schon selbst aufrufen. Das machst du am besten dann, wenn Serial.available()>0 ist.

Ich denke das Problem ist, das hier das Board als 'Modem' nicht als 'usbserial' erkannt wird...

Laut der von Uwe verlinkten Anleitung (Punkt 8 ) ist es ganz normal, dass der Uno und der Mega2560 unter der Bezeichnung Modem auftauchen. Das scheint somit nicht das Problem zu sein.

Erst mal dürfte es dich doch wundern, dass deine LED an Pin 13 dauerhaft leuchtet, oder? Wenn man schon delay() benutzt, sollte man zwei Pausen einfügen: Einschalten-Pause-Ausschalten-Pause, ansonsten kommt gleich wieder die nächste Ausschalt-Anweisung.
Dann sollte dich interessieren, wie und ob sich voltage tatsächlich verändert. Ein Serial.begin hast du schon in der setup-Routine, mit Serial.print kannst du auch die sich ändernde Spannung ausgeben.
Zum Schaltplan: Sieht ein bisschen wirr aus, schaltest du das Relais tatsächlich direkt am Pin? Ist die Stromaufbnahme nicht zu groß? Hast du eine Löschdiode verbaut, die deinen Pin vor Spannungsspitzen schützt?
Du kannst zum Testen auch ein Poti mit 1000 Ohm einbauen (statt der LED ), um die Spannungsänderung zu simulieren.