Tout dépend de ce que tu veux faire avec la carte Arduino?
Elle n'a pas vocation à traiter de la vidéo elle n'est pas assez puissante.
Si tu veux utiliser la carte comme interface pour ta caméra, tu vas avoir une débit calamiteux.
Le port USB de l'arduino contient un port série virtuel dont le débit n'est quand même pas très élevé.

Exemple:
Une image 320 x 240 en RGB fait environ 230koctets
Si tu la transfères à 115200 bauds sur la liaison série de l'arduino il te faut un peu plus de 15s pour l'envoyer.

La diode c'est pour empêcher de vider le condensateur lorsque tu actives le démarreur. Il faut la brancher anode vers la batterie et cathode sur le condensateur.

Le problème c'est que le démarreur fait chuter la batterie à quelques volts pendant plusieurs secondes et il fa falloir un condensateur énorme (de l'ordre du farad) pour continuer à alimenter ton montage pendant ce temps là.
Il y a 2 solutions à ton problème:
1) tu oublies l'idée d'alimenter ton montage pendant le démarrage (solution la plus simple mais qui ne dispense pas de mettre quand même un condensateur pour te protéger d'autres perturbations moins violentes qu'un démarrage)
2) tu utilises non pas un condensateur mais une petite batterie. Évidemment c'est un peu plus volumineux. Il faut aussi dans ce cas placer une diode pour que ta seconde batterie ne soit pas sollicitée au démarrage.

printf est une fonction "standard" du C (dans la librairie stdio) qui gère l'affichage sur la console. Dans la librairie lcd il n'y a que print qui assure un minimum de possibilité. Si tu veux utiliser les possibilités de printf pour de l'affichage vers un écran lcd il faut utiliser la fonction sprintf.
sprintf "écrit" dans une chaine au lieu de vers l'écran.
Exemple

Code:

char tampon[25];
float ma_valeur=34567.567;

sprintf(tampon,"la valeur est %f8.2",ma_valeur);
lcd.print(tampon);

Le premier chiffre après le %f indique la taille du champs dans lequel sera placé le flottant.
Le second chiffre indique le nombre de décimales.
Attention a bien dimensionner la tampon pour qu'il puisse stocker le texte + le nombre sinon c'est le plantage assuré.

b=(int)(a*10.0) // 12454
result= (float)(b)/10.0

ou en une ligne

result = (float)((int)(a*10.0))/10.0

Dans le principe cela fonctionne mais en pratique les calculs en flottant entrainent des erreurs d'arrondi et le résultats ne tombe pas toujours juste. Typiquement la conversion (float)(b)/10.0 retourne souvent de nouvelles décimales non souhaitées.

Si c'est pour de l'affichage il est préférable de "jouer" avec les paramètres de printf. Pour les calculs c'est un autre problème.

Si on se réfère à la doc sur le site d'Adafruit on voit que l'accéléro fonctionne en 3,3V (max 3,6V). Si tu alimentes par les sorties de l'arduino tu peux avoir jusqu'à 5V. C'est pas bon pour ton accéléromètre.

J'ai même essayé de faire tourner le programme sans capteur (uniquement avec l'Arduino) et j'ai aussi le même résultat

Sans capteur, il faut penser à mettre les entrées à un potentiel connu pour vérifier le fonctionnement. Si tu les mets à la masse ou au +5V tu devrais lire 0 ou 3FF.

La donnée est limitée à l'espace 0-255 pas l'adresse

Parameters

address: the location to write to, from 0 to 511 (int)

value: the value to write, from 0 to 255 (byte)

(Extrait de la page de référence)

Déjà à ce niveau je ne suis pas sur d'être très efficace dans ma manière de coder l'ensemble...

Effectivement ta fonction loop() n'est pas plus claire que tes explications et pour un même état de contact_state tu peux tomber dans 2 cas différents.
Je pense que tu devrais reformuler ton besoin plus clairement en prenant bien en compte les cas qui s'exclus mutuellement et ton codage en sera simplifié.

Les délais dans les commandes de moteurs ce n'est pas une très bonne chose. Si un peu de poussière tombe dans le mécanisme et ralentie le moteur ou si au contraire tu le lubrifies un peu et que celui-ci accélère, tes temporisations deviennent complètement fausses.

En fait, je dois avouer que je ne comprends pas très bien ton problème. Pourquoi as-tu été obligé de désactiver une partie de ton code?

Je ne connais pas processing mais j'ai l'impression que tu as un problème de type dans tes données.

Ton code dans l'arduino attend des valeurs numériques codées en ASCII
Ton code en Processing semble envoyer des entiers
Donc quand tu veux envoyer 90 par exemple:
  ton code en processing envoie 9 et 0
  alors que ton code dans l'arduino attend 57 et 48 (les codes ASCII des caractères 9 et 0)

Pour faire ce genre de conversion, il peut être intéressant de passer par un sprintf qui permet de construire une chaine de caractères avec des valeurs numériques

Personnellement, si je devais le faire, j'ajouterai cela:
http://www.nuelectronics.com/estore/index.php?main_page=product_info&cPath=1&products_id=17&zenid=f3609a370a3a50a37eb43fcac58f240c
pour assurer l'alimentation lorsqu'il n'y a pas de soleil et pour réguler la tension

Et bien justement parce que cela consommera moins comme tu le demandais.

Tu peux utiliser 10K

Pourquoi pas toutes les résistances de la même valeur.
Si aucun poussoir d'activé, tu trouves 0.
Si le premier poussoir (celui du bas) est appuyé, tu trouves 1/4 de 5V (1..25V)
Si le second poussoir est appuyé, tu trouves 1/2 de 5V (2.5V)
Si le troisième est appuyé, tu trouves 3/4 de 5V (3.75V)

Quel type d'info cherches-tu à avoir?

Pour les butées, je pencherai plutôt pour des capteurs magnétiques. Aimants + relais reed ou capteur à effet hall.

Le problème des capteurs sur les butés c'est que ce n'est efficace que pour la phase finale. Il faut un autre type de capteur pour gérer l'accélération/décélération. Le potentiomètre est pas mal, mais tu vas avoir des problèmes d'étanchéité. Cette fois encore un capteur magnétique mais linéaire celui-là) peut être utilisé pour capter la position d'une pièce qui tournerai en même temps que le portail (une espèce de disque oblong) dont la distance au capteur permettrait de déduire une vitesse.

L'avantage des capteurs magnétiques c'est que par conception, ils ne sont pas sensibles à l'humidité. Donc tu aura moins de problème d'étanchéité.

Dans ces doc il y a pas mal d'info pour débuter
http://earthshinedesign.co.uk/ASKManual/Site/ASKManual.html

http://www.lulu.com/product/t%C3%A9l%C3%A9chargement/arduino-programming-notebook/3524028