Einen Motor direkt an den Pins des Arduino zu betreiben ist schon Fehler Nummer 1. Und auch wenn es Motoren sind, die schon bei relativ geringen Spannungen und Stromstärken anlaufen - egal, das macht man einfach nicht.

Die Lösung hast du ja bereits vorgegeben: Wenn der Motor vor- und rückwärts laufen soll, kommst du um eine H-Brücke nicht herum. Da bietet sich für kleine Lasten der L293D an.
Wenn ein anderer Motor zwar zuckt, sich aber nicht dreht, kann das natürlich auch an der Programmierung liegen. In Ermangelung des Quellcodes muss man hier aber nicht weiter darauf eingehen.
Alternativ könnte man vielleicht auch einen gehackten Serv nehmen. Tutorials, wie man den festen Anschlag ausbaut und das interne Poti durch zwei Festwiderstände ersetzt gibt es viele im Netz.
Die eigentliche Frage, die mich beschäftigt ist der Einbau in die Wanduhr. Entfällt damit das ganze Uhrwerk? Bekommt der Motor ein Getriebe verpasst? Schließlich soll die Uhr ja nicht mit ein paar tausend Umdrehungen rotieren...