Ayer escribí al vendedor solicitando información ampliada de conectar el módulo con Arduino y muy amablemente me ha enviado justo la misma información que ya venía en la publicidad de su producto en eBay

Indica que si necesito algo más que se lo diga pero no sé si sacaré mucho más por esa vía.
Al quitar los pull up puse resistencias externas como divisor de valores 1k2 y 2k2 (ésta última a GND, claro). El patillaje lo he comprobado y parece estar todo bien. A las patillas de la "cápsula" de la SD le llegan bien las señales, en MOSI y CS mido 3,3 V (aproximado), en SCK no recuerdo si medía algo, las dos patillas correspondientes a alimentación también mido 3,3 V. MISO lo tengo directo sin divisor resistivo.
Yo también estoy empezando a sospechar de la MicroSD y/o el adaptador. Intentaré hacerme con una SD normal para probar, el problema es que ahora es más difícil encontrarlas ya que suelen ser de 4 GB o más (SDHC).
Por último sobre la librería estoy usando la que viene en el IDE, simplemente abro el ejemplo de CardInfo y lo cargo (he probado a cambiar sobre el ejemplo el pin SS entre el 4 y el 10 por si acaso pero nada).