Me revoici avec mes conclusions si ça peut aider quelqu'un...
J'ai repris la fonction pour faire l'attente de réponse et les lectures dans une seule boucle, comme suit :
while (client.connected())
{
if (client.available())
{
//test si entetes déjà passées, si c'est le cas remplissage du tampon
}
if (timeout) erreur;
}
Apparemment cela règle le problème de dépassement lors de la réception.
Et il a fallu également pour résoudre le problème de GET anarchique remplacer :
client.println("GET ... HTTP/1.0");
client.println();
par :
client.print("GET ... HTTP/1.0\r\n\r\n");
Là en revanche je n'ai pas compris pourquoi puisque le println ne fait rien d'autre qu'ajouter "\r\n".
Voilà tout, merci et bonne soirée.