Oi acredito poder responder suas questões mas antes de mais nada o melhor é voce detalhar como você esta ligando seu LCD, como seu arduino está sendo alimentado ( USB ou Fonte DC) ? Responda suas perguntas que já teremos metade das resposta que você deseja.
Quando você diz que o brilho diminui, isso é um indicio muito forte de sobrecarga no seu arduino, o que pode levar a queima do estagio de fonte ou ate mesmo da sua USB. Isso acontece geralmente em alguns displays LCD16x2 ou 16x4 que não possuem resistor limitador de corrente do backlight. Caso interesse em comprar outra linha de display entre em contato com o vendedor do
http://produto.mercadolivre.com.br/MLB-191622936-display-lcd-usb-para-pc-windows-linux-mac-_JM .
Mas a ausência desse resistor limitador de carga, além de promover a sobrecarga do equipamento no qual esta ligado, também faz com que o display queime o backlight com poucos minutos de operação.
O transistor praticamente não tem nada haver com esse problema. O transistor nada mais é que uma chave de liga e desliga, e a função do mesmo é promover o controle do backlight.
Já a respeito, da ativação do relé, esse é um que deve ser ter extremo cuidado quando conectado a microcontroladores, pois caso o mesmo esteja ligado diretamente a porta do microcontrolador ou ligado sem a utilização do diodo de bloqueio, ele faz com que o arduino ou outro microcontrolador queime ou nao opere corretamente.
Para até ajudar outros arduineiros, estará disponivel nos proximos dias no
http://www.androidarduino.com.br/blog/ uma serie de blog com dicas e técnicas de implementação e interconexão com vários dispositivos eletrônicos. Acompanhe pois jajá voce descobrira que eletrônica é um mundo magico.
Muito sucesso em seu projeto, e sugestões de temas a serem discutidos, duvidas pode me enviar que será um prazer passar dicas .