Tem com certeza, mas vai precisar usar form e tratar o "submit" para gravar na EEPROM.
Você vai precisar ler um pouco para conseguir fazer isso. O que você está tentando fazer do lado do cliente é impossível:
client.println("<input type='button' value='Gravar' onClick=EEPROM.write(0,1)>");
Você vai precisar de um: <form action="" method="get"> o input submit e aí quando clicar no botão ele vai dar o submit no formulário para a mesma página usando GET. Da uma pesquisada que está cheio de exemplos por aí.