Also z.b. kann man bestimmte Internetfunktionalitäten mit dem einen Chip realisieren und mit dem anderen nicht?
Theoretisch nicht, praktisch schon. Es gibt keine mir bekannte Library, mit der das Programmieren der ENC28J60 Shields nicht die reinste Qual wäre. Es ist z.B. im Netz kaum ein vernünftiges Beispiel für eine einfache HTTP Client Anwendung mit dem ENC28J60 zum popeligen Abrufen einer URL zu finden.
Wenn du Erfahrung, Zeit und Lust hast auf TCP/IP Ebene zu entwickeln, dann sollte mit dem ENC28J60 auch so ziemlich alles möglich sein. Beim Wiznet brauchst du dich nicht um diese Abstraktionsebene zu kümmern und öffnest einfach in wenigen Zeilen einen Socket (http, smtp, irc, pop3, dns, udp... whatever) zum lesen/schreiben.