A pesar de lo popular que es la libreria UTFT, no tiene habilitado el controlador para ILI9341 conectado a 16 bits; sin embargo el autor dejó dentro de la librería todo lo necesario para hacerla funcionar, solo es cosa de algunos minutos de prueba y error con la libreria.
En mi búsqueda del TFT ideal para arduino, modifiqué la libreria UTFT porque tengo una pantalla idéntica a la tuya, con 34 pines y quería ver como funcionaba, no trabaja nada mal, pero me decanté por la serie de chips FT8XX.
Por ese entonces, armé un shield para no lidiar con los 34 cables. No usé el lector SD de la pantalla, ya que comparte hilos con la pantalla táctil, así que instalé un lector microSD adicional.
Constructores:
UTFT myGLCD(33,38,39,40,41); // TFT ILI9341_16b
o este otro
UTFT myGLCD(ILI9341_16,38,39,40,41); // TFT ILI9341_16b
PD: usa el Due para conectar directamente la pantalla. Para MEGA tienes que usar divisores de voltaje en todas las lineas, y te adelanto que para el MEGA no existe un shield para conectar pantallas de 34 pines.
Revisa hilo por hilo cuando la conectes al Due, con uno que esté dañado o no haga buen contacto, es suficiente para que la pantalla no responda