Ich habe soeben bemerkt, dass das ChatServer-Beispiel wirklich die falschen Parameter an die Ethernet-Bibliothek übergibt. Der dritte Parameter von Ethernet.begin() ist die IP des DNS-Servers und nicht der Gateway. Kannst Du das noch ändern?
Aber ich stimme mit mkl0815 überein, es sieht so aus, als würde Dein Breadboard-Rechner ständig resetten. Als erstes würde ich die Glättungskondensatoren näher an den Chip bringen und noch einen hinzufügen, der mind. 10µF gross ist.