I componenti dipendono dal tipo di realizzazione che vuoi fare, quindi prima decidi quella ... a proposito, il cubo vero e proprio lo hai gia costruito ? ... se no, qui ci sono alcuni utili suggerimenti sull'assemblaggio dei led, per costruirlo in modo che sembri effettivamente un cubo, e non una scultura astratta n-dimensionale 
(e' per l'8x8x8, quindi appare molto piu incasinato, ma i suggerimenti su misure e tecniche di piegatura e saldatura sono validi lo stesso) http://www.instructables.com/id/Come-costruire-un-led-cube-8x8x8/
Una volta realizzato quello, se vuoi pilotarlo direttamente con arduino senza gli shift register, ti servono 2 ULN2803, 4 transistor BC327, un po di resistenze assortite, un'alimentatore esterno da almeno un paio di ampere (meglio alimentare i led indipendentemente da arduino), un po di fili, e TAAAAAAANTA pazienza ... ah, gia, quella non la vendono ...
Se invece vuoi usare lo shift/driver, al posto dei due ULN ti serve uno di quegli shift/driver (hanno 16 uscite, quindi uno basta), devi vedere se trovi piu facilmente il CAT4016 oppure l'STP16DP05 in formato DIP (perche' suppongo tu non voglia metterti a lavorare con gli SMD, giusto ? 
) ... con questo, non servono le resistenze su tutti i led, perche' la corrente e' regolata internamente per ogni uscita dalla sezione driver, basta settare la corrente sull'apposito pin ...
O in alternativa, c'e' la via di mezzo, se non trovi facilmente quei chip shift/driver, o se costano troppo ... potresti usare semplicemente degli shift register tipo il vecchio 74HC595 o simili, due connessi in cascata per avere le 16 uscite con la funzione latch, ed usare le resistenze sui led per limitare la corrente ... come vedi le configurazioni possibili sono parecchie, dipende tutto da quale scegli e dal software che poi usi ...
Poi c'e' gente che e' andata sulla scelta piu semplice ed ha costruito il tutto senza nessun driver, pilotando direttamente i led con le uscite dell'arduino, ma non so quanto sia sicuro farlo, dato che i pin di arduino hanno un massimo di corrente, e superandolo si rischia di bruciare qualcosa ... comunque, come esempio, c'e' questo 4x4x4 LED-cube based Arduino and Flower protoboard - Blog