Posta anche una foto del modulo che stai usando. L'ENC, come l'ESP8266, va alimentato a 3.3V ma consuma parecchio, più di quanto il regolatore montato su Arduino è in grado di fornire. Probabilmente il regolatore dell'Arduino originale è di qualità migliore e riesce a fornire più corrente degli altri, per cui la scheda "funzionicchia", ma la soluzione vera è una di quelle che si usano sull'ESP, vedi la mia guida in firma, solo per la parte di alimentazione.
Non è invece necessario adattare i segnali, in quanto l'ENC è 5V-tolerant.
Penso sia come dici tu. Non basta la corrente. Siccome dovrò aggiungere al progetto anche un lettore RFID in futuro ed essendo tutti e due 3.3volt opterò per un alimentatore esterno.
In allegato i 2 moduli che ho testato. Entrami funzionano con originale e non con cinese.
Se vai alla libreria indicata dal OP, ovvero QUESTA, nel file EtherCard.cpp, alla linea 405 c'è il metodo begin che, appunto, prevede tale pin e NON ha un valore di default: