Laut Datenblatt müßte ich den Transistor mit etwa 1,73V und 20mA ansteuern, damit durch den Ce 100 mA fließen können.
Ich habe ein 2n2222 Datenblatt, das als worst case hFE=30 zeigt. Die 20 mA IBsind also bei weitem nicht nötig, woraus sich die enorme Bandbreite des Basis-Vorwiderstands erklärt.
VBEsat ist in diesem Datenblatt recht variabel, aber dein 1,73V ist doch ziemlich hoch geschätzt.
Die großen Unterschiede des Basis-Vorwiderstands ( 78.5 ... 1000 Ohm ) kannst du natürlich, wie agmue bemerkt, durch Poti-Versuche eingrenzen, oder einfach einen Standard-Mittelwert nehmen.
Wenn dir -wie mir- 78 Ohm zu klein erscheinen, probiere einen größeren (390 Ohm) und wenn der (vermutlich auch gut) funktioniert, nimm zur Sicherheit einen etwas kleineren ( 270 Ohm ).
Wenn du kein Oszi hast, brauchst du mindestens ein Messgerät für Gleichspannungen 0 .. 20 V
Damit kannst du in Schaltungen prüfen, ob überhaupt ein Strom durch die IR LED fliesst, z.B. über den Spannungsabfall am Vorwiderstand. Natürlich nur bei Gleichstrom, 38 kHz Pulse isind etwas anderes.
Üblicherweise sieht man auch im Bild einer Digitalkamera/Handy, ob die IR-LED überhaupt leuchtet.
Warum deine Schaltung nicht funktioniert, ist allerdings schwer zu raten 
Manchmal sieht man am TV, ob überhaupt etwas (wenn auch ein falscher Code) empfangen wird ...