Seguramente, si en las especificaciones de las placas solares pone "Output: DC 4.5V/5.5V/6.5V/9V, 800mA" quiera decir que como máximo entrega 800mA a 4.5v, por lo tanto cuando tu selecciones la salida de 9v obtendrás la mitad de Miliamperios (mA) obtendrás 400mA a 9v. Por mi parte eso lo veo un poco justo, para las primeras pruebas te puede valer, pero en cuanto intentes exigirle más a Arduino te puedes quedar corto, y solo conseguirás volverte loco intentando saber porque se resetéa solo!! 
Te explico un poco más lo de los mA, Arduino puede entregar como máximo 40mA por cada una de sus salidas, si disponemos de una sola placa Solar que nos da 400mA a 9v. y restandole el consumo del propio Arduino (que ahora mismo no tengo ni idea de cual es, pero supongamos que 100 mA) nos quedas 300 mA dividido 40 mA (Máx) de cada salida nos da un total de 7.5 Salidas. Lo cual quiere decir que si te has comprado un Arduino Mega, con sus 54 Entradas/Salidas y tan solo vas a poder utilizar al máximo 7 de ellas, parece un poco tontería. Por cierto no te líes haciendo esto 54 x 40 mA = 2.160 mA (más de 2 Amperios), puesto que no creo que nunca utilices todas sus salidas a la máxima potencia, piensa que más o menos la mitad serán entradas y la otra mitad salídas.
Conclusión:
La fuente de alimentación "Ideal" para esa placa 2A. (2000mA) o más... (Proyectos Avanzados)
Con una fuente de 1A (1000 mA), te funcionarán el 99% de tus proyectos. (Proyectos Medios y Avanzados)
Una de 500 mA. (Proyectos Básicos y Medios)
300 mA (Proyectos Básicos)
Personalmente te recomendaría una pequeñita (500mA) para muchísimas de tus pruebas. y más adelante una de 1 ó 2 A. Todo lo dicho está sacado de mi experiencia personal, seguro que no todo el mundo está deacuerdo.. 
Con respecto a tu segunda pregunta, ni se te ocurra conectarlo así, en el mejor de los casos saltará el diferencial de la casa, en el peor adiós placa solares y Arduino!!!
Un Saludo, y ánimo...