Bueno, doy por cerrado el hilo (por mi parte).
Este es el código final para una simple lectura:

#include <SoftwareSerial.h>

#define rxPin 8
#define txPin 9

SoftwareSerial RFID = SoftwareSerial(rxPin, txPin); //RX, TX

String showRfidError(int nErr){
  switch (nErr){
    case 0:
      return "Command not understood";
    case 1:
      return "Tag not present";
    case 2:
      return "Tag failure to Read/Write";
    case 3:
      return "Access to Block 0 not allowed";
    case 4:
      return "Page address invalid for this tag";
    default:
      return "Unrecognized error";
  }
}

void setup(){
  Serial.begin(9600);  // start serial to PC
  RFID.begin(9600);    // start serial to RFID reader
}

void loop(){
  String temp="";
  int i = -1;
  if (RFID.available() > 0){
    temp.concat((char)RFID.read());
    if (temp != "?" && temp != "O") //if is not a command response, is significant data
      i++;
    while (RFID.available() > 0){
      temp.concat((char)RFID.read());
      if (i < 0){
        if (temp.charAt(1) == 'K')
          Serial.println("Function Performed Successfully");
        else{
          Serial.println(showRfidError(temp.charAt(1)-'0'));
        }
        temp = "";
      }
      i++;
    }
    Serial.println(temp);
    temp="";
  }
  else{
    RFID.print(F("RAT"));
    //RFID.print(F("WAT643_080000042750_1_000000_2"));
    RFID.write(13);
  }
  delay(1000);
}

Las conexiones finalmente son:
Arduino Nano RFIDRW-E-TTL

8 TX (J1)
9 RX (J1)
5V V+ (J1)
GND V- (J1)
Led entre L+ y L- con
una resistencia de 1k en serie

Muchas gracias a @surbyte por toda la ayuda prestada.