ist es nicht egal ob die LED vor oder nach dem Transistor angeschlossen wird? Der Stromkreis verläuft doch eh über den Collector und Emitter, oder nicht?

Was du gebaut hast ist klassischer Emitter-Spannungsfolger.
Deine Schaltung sorgt dafür, dass am Emitter des Transistors, also an der Signalleuchte, immer die Spannung herrscht, die du an die Basis anlegst, minus 0,7V.
Ich habe dir in dein Bild mal die Spannungen eingetragen.

Da von Arduino 5V kommen, bleiben an der LED ca. 4,3V. Was auch erklärt, warum eine normale LED funktioniert, aber deine Signalleuchte mit eingebautem Vorwiderstand nicht.
In der Schaltung von Uwe hingegen schaltet der Transistor auf Masse, an der Leuchte liegen 12V an.
Du hast in sofern recht, als es EIN Stromkreis ist. Der Strom, der oben durch den Kollektor fliesst, fliesst auch unten am Emitter (fast jedenfalls).
In der Schaltung ist aber der die Stromhöhe bestimmende Widerstand der interne Widerstand deiner Signalleuchte. In nehme mal an, dass diese Signalleuchte aus einer LED besteht, mit ca. 3,5V Durchlassspannung und eine Vorwiderstand von 470 Ohm.
Dann fallen von den 4,3V, die an der Leuchte anliegen, 3,5V an der LED ab, am Widerstand liegen 0,8V an, was einen Stromfluß von 1,7mA erzeugt.
Zu wenig, um die LED sichtbar zum Leuchten zu bringen. Bei völliger Dunkelkeit hättest du vielleicht sogar was gesehen.
Klar?
Gunther