Cual es el juego? Puedes poner el enlace please?
Tienes capturas de pantallas del juego para ver que cosas debería mostrar el display 5"?
Que Arduino?
Basado en esto y en mi experiencia con Mega (que no sirve), un DUE (que si sirve) y una pantalla TFT de 4.3" te diré que uses un DUE, porque refrezca mejor la pantalla por lejos, y un juego es dinámico y lo vas a notar cuando lo sientas lento.
Leonardo es inferior a Mega de modo que descartado también.
Esa es mi sugerencia de que Arduino debes usar.
Acabo de encontrar esto, creo lo tuyo es a la inversa pero tal vez te de una idea haciendo ingeniería inversa. Tu necesitas justamente Generar esos códigos que acá fueron leidos del joystick
Tal vez digo tal vez, puedes montar un joystick real, leer los códigos usando este link y luego emularlos con tu proyecto.
Developing Arduino code for HID Joystick