Prova a pensare ...
... tu da Arduino devi dare dei segnali alla tua scheda Motor Drive e ... cosa è un segnale ? Una "differenza (o meno) di potenziale" rispetto ad un riferimento ... il GND.
Se non colleghi il GND ... come vuoi che ci sia una "differenza di potenziale" ??? 
Rimane ovvio che NON devi però inviare in ingresso, sui pin di Arduino, una tensione più alta di quanto loro possono sopportare ovvero, più alta della tensione di alimentazione di Arduino.
Guglielmo