Nein, der ATmega funktioniert auch mit 4V noch wunderbar, ob das auch für Dein Display gilt, weiss ich nicht, da Du keinen Link auf das Produkt zur Verfügung gestellt hast. Nur weil sie im Programm nicht angesprochen werden, heisst das noch nicht, dass sie keinen Strom konsumieren. Apropos I2C: wie gross sind die Pullups? Sind sie gegen 5V oder gegen 3V3 (hängt vom Display ab).
Habe nun die Spannung gemessen, während ich das Potentiometer verändert habe -> Sie bleibt konstant auf 5V! Ich denke, dass der Punkt mit der zusammenbrechenden Spannungsversorgung somit hinfällig ist.
Zu meinem LCD: Ich verwende das Sainsmart LCD 2004 (http://www.sainsmart.com/sainsmart-iic-i2c-twi-serial-2004-20x4-lcd-module-shield-for-arduino-uno-mega-r3.html). Zu den verbauten Pullups kann ich leider nichts sagen... Da müsste ich mir mal das Datenblatt ansehen. Welche Auswirkungen hätten die Pullups? Das Display funktioniert in jeder anderen Anwendung ohne Probleme!
Kann es möglich sein, dass der Fehler auftritt, weil hier Pin A5 verwendet wird und dieser ebenfalls für I2C zur Verfügung steht?