Mi pare che il problema non sia tanto scoprire la causa ma porre rimedio, direi che la prima cosa da fare sia alimemtare la scheda con 9V. max (V in) e verificare se nei pin di Arduino 7 e 20 sono presenti i 5V previsti. In caso affermativo il Regolatore è Ok se invece misuri un valore prossimo ai 9V ma anche se fossero 6V è evidente che il regolatore è andato.
Riparazione:
1)Se il regolatore è Ok sostituire solo il 328P con bootloader precaricato.
2) Sostituire il Regolatore se non si è ingado di farlo (SMD) lascia perdere compra un normale 7805 e lo colleghi esternamente in questo modo la nuova Vi andrà sempre collegata al pin in dell'7805 mentre l'uscita a 5V entra nella Vi di arduino classica, il centrale del 7805 va come sempre a massa/gnd, Nel primo caso non sò se vale la pena come costi.
Tieni conto che in Cina con 14€ ti ricompri l'intera board di Arduino, quindi fai i tuoi conti e decidi.
Saluti.