Die Adresse setzt Du nur auf dem Arduino, sprich kein DHCP sondern direkt eine IP setzen. Zumindest solange der Repeater, der hier ja als WLAN-Client arbeitet, nicht selbst DHCP macht und so ein Endgerät anbindet. Dann funktioniert das nicht, außer der Repeater kann NAT. Wenn der Repeater "nur" als WLAN-Verlängerung arbeitet solltest Du Deinen Arduino unter seiner gesetzten IP erreichen können.
Ich habe mit diesem Kollegen hier sehr gute Erfahrungen gemacht (kleiner und günstiger):
TP-Link TL-WR702N
Siehe hier: