Il MAC lo scrivi tu nello sketch, non deve essere uno di quelli già esistenti nella tua rete e lo puoi dare tu "a scelta".
Alcuni router però vogliono dei MAC "sensati" quindi meglio usare un generatore di MAC che si trova su internet.
Se cerchi in thread precedenti, sezione italia, @Guglielmo (utente GPB01) in una discussione mise il link a questa pagina per farsi generare un mac casuale ma sensato.
EDIT: Ethernet shield compatibile non funziona - Hardware - Arduino Forum
Poi per la rete, scaricati il free NetScanner:
Gli dai indirizzi da 192.168.1.0 a 192.168.1.255 e lui da bravo ti elenca tutto
Se spegni Arduino in teoria non dovrebbe più pingare.
A meno che il router nel momento in cui lo spegni assegna quel ip ad un altro dispositivo. (.5 pinga, sicuro sia ancora Arduino se hai il DHCP attivo? )