Hai detto tante cose, ma non come alimenti arduino.
Come faccio a misurare gli A che caccia arduino???
Arduino da una singola porta "caccia" 40 mA se hai sfruttato l'alimentazione del pin anche solo per provare hai "fottuto" la porta del microc.. :), non servono molti mA per portare in conduzione il TR.
non è poi così difficile, prova l'interfaccia su una piastra sperimentale, prendi sto transistor mettilo su una breadboard collegalo al relè secondo lo schema, senza connetterlo ad arduino "ficcagli" 5v sulla base del TR ... deve funzionare se dici che con 5v va lo stesso.
Funzionerà ugualmente, ma è un pagliativo. Con un carico di 5A i contatti si bruceranno prima data la minor "decisione" e velocità di chiusura ... non ce ne sono santi, i parametri vanno rispettati... che facciamo compriamo i componenti un tot a Kilo? 
Sapevi che arduino aveva 5v quando sei andato dal fornitore di componenti!!! perchè hai preso il relè non idoneo? a questo punto alimenta arduino con 9v e bilancia le tensioni se vuoi sfruttare l'acquisto
sicuro di aver distinto B-E-C del TR e collegato correttamente?
sicuro che quel TR funzioni?
Hai provato con un led se si accende sul pin dell'arduino con la dovuta R in serie? se non altro verifichi che dalla parte Arduino non ci siano problemi.
ciao