Première étape : charger le mot de passe depuis l'eeprom. Alors petite précision : la première fois que tu vas lancer le programme, forcement jusqu'à maintenant aucun code n'a été saisi, et l'eeprom par défuat est remplie de 0. Chaque adresse de l'eeprom est un byte donc pas de probleme pour un boolean y'a de la place ! On va, pour simplifier, stocker chaque index du mot passe à une adresse différente (0, 1, 2, 3 et 4). Il suffit simplement lors du setup de faire une boucle pour remplir Password[] avec des EEPROM.read().
Deuxième étape : pouvoir enregistrer un nouveau mot de passe. La il faut un élément déclencheur, un autre bouton par exemple. Si j'appuie sur ce bouton, alors je peux enregistré un nouveau mot de passe. Bin la c'est assez simple : il suffit de reprendre le code qu'on a déjà et au lieu de comparer CodeEnCours avec Password lorsqu'il y eu 5 appuis, il suffit d'écrire CodeEnCours dans les adresses 0, 1, 2, 3 et 4, avec EEPROM.write et de charger Password également avec code en cours pour que le nouveau mot de passe soit effectif directement.
A toi de jouer ... Petit truc : tu n'est pas obligé de recopier tout le code une deuxième fois puisqu'il n'y a que lorsque nombreAppui>4 qu'il y aura une différence de le traitement de CodeEnCours 
Il suffit, lors de l'appui sur le 3eme bouton, de changer l'état d'un boolean (par exemple : "EnregistrementEnCours=1;"). Quand on arrive à la condition nombreAppui>4, si EnregistrementEnCours=1 ==> enregistrement dans l'eeprom, sinon comparaison avec Password.