Ho l'impressione che ci siano più problemi tutti assieme.
Si parte dal fatto che tutti i pin di Arduino sono delle antenne, e che esistono disturbi condotti, irradiati e per accoppiamento induttivo e capacitivo, che possono anche transitare in un circuito chiuso comprendente gli apparati collegati tra loro, gli alimentatori e i cavi della rete elettrica.
Inoltre quella scheda mi sembra abbia dei problemi progettuali. Non c'è isolamento ottico tra i segnali di comando e il resto della scheda, e questo perché non c'è alcuna separazione tra le masse e le alimentazioni (tanto valeva non li mettessero neppure gli optoisolatori).
Poi vicino alle bobine dei relè non c'è l'apposito diodo di ricircolo, tutte le extratensioni tornano indietro fino agli ULN e solo li vengono "smorzate" dai diodi interni, quindi le piste delle bobine potrebbero generare interferenze (e potrebbero anche bruciare i LED).
Il pulsante invece potrebbe non avere alcun debounce e quindi l'ingresso potrebbe essere suscettibile ad attivazioni anche in presenza di segnali brevissimi.
Partiamo col pulsante, subito un condensatore da minimo 1µF in parallelo alla resistenza di pull-down (quella che vedo sulla breadboard è collegata in pull-down, e ci fidiamo che sia da 1k).