7W, 12 V cela fait 600 mA.
alim PC
Dans les PC modernes le 12V n'est encore présent que pour une éventuelle carte d'interface RS232 qui consomme que dalle sur le 12V.
D'où ma question :quel courant max l'alim dont tu dispose peut fournir sur le 12V ?
Si tu n'as pas la réponse tu peux essayer de connecter directement le solénoïde à l'alim sans transistor, juste une diode en inverse sur le solénoïde pour ne pas tuer l'alim.
Si le solénoïde claque l'alim est suffisante, dans le cas contraire il faudra une alim 12V plus puissante.
Quant au transistor, le (2N)2222 peut convenir mais est quand même raz les paquerettes pour l'application.
Un transistor bipolaire plus puissant ne serait pas de trop, mais pas trop puissant car le gain s'écroulera ou alors prendre un montage darlington.
Un transistor Mosfet dit "logic level" conviendra aussi.
Autour de 1A les technologies bipolaire ou Mosfet sont équivalentes, c'est une question de préférence ou d'expérience personnelle.
Si cela ne te parait pas clair voir ici : Tuto le transistor bipolaire ou MosFet simplifiés - Tutoriels et cours - Arduino Forum
Est ce que c'est normal si le transistor devient chaud ?
Tout dépend comment on voit la chose :
Si il y a une connerie dans le câblage alors oui c'est normal 
, sinon non.
A vue de nez comme cela :
- pas de résistance en série avec la base, le transistor est dans un état "indéterminé" mais sûr il n'est plus en bonne santé.
- trop de résistance dans la base le transistor ne peut pas se saturer , il reste en zone linéaire et il chauffe.
- erreur de câblage.