Hallo,
zum Thema ESP8266-01 gibts bezüglich der Stromversorgung so einiges im Netz zu lesen. Bei Wlan braucht er bis zu 200 mA Spitzenwerte, da reicht die 3,3V Stromversorgung des UNO nicht zu. Es gibt Empfehlungen die 3,3Volt mit einem Konsensator >100uF zu puffern. Ob das geht hab ich noch nicht probiert. Problem scheint zu sein das der ESP ständig neu bootet sobald das Wlan dazu kommt wird.
Nachtrag
habe jetzt ganz vergessen auf den GPOI0 einzugehen. der muss eigentlich offen sein , besser auf 3,3 V liegen . Der wird zum flashen auf 0 V gelegt und wartete dann darauf das er befruchtet wird.