Das Modul (ESP8266-01?) kenne und nutze ich nicht.
Ansonsten:
Das kommt auf die Zielwebsite an. Wie erfolgt der Buttondruck? Den wirst Du nicht simuliuerten können.
Wenn Du aber weisst, was der Button an den Server schickt, könntest Du versuchen, diese Meldung nachzustellen. Dann kommt es auf die Sicherheitseinstellungen des fernen Systems an, ob das geht.
Ich würde ein klares Jein sagen, wenn Du auch auf den Code des fernen Systems Zugriff hast, sonst eher ein Nein.
Du müsstest ausspionieren, was für eine Aktion nach dem Buttonclick ausgelöst wird und die Kommunikation, die zum Server geht, nachbilden. Wenn es überhaupt geht, ohne tiefere Kenntnis der beteiligten Materie nicht möglich.