Io ho sia webserver che webclient nello stesso sketch.
in realtà comunico con il server con EthernetUDP sulla 8888 e ricevo richieste sulla 80, ma sono due funzioni ben distinte, prima ne faccio una la chiudo e poi faccio l'altra e la chiudo.
stai usando UDP o HTTP (client.println("GET /************ HTTP/1.0"))per trasmettere al server?
in teoria dovrebbe funzionare nello stesso sketch eseguendone uno alla volta
ciao