Fehlerhaftes Gerät?

Der EEPROM ist doch dieser kleine CHIP?

Du hast ein, im µC, eingebautes EEPROM!
Weder SPI noch I2C.

Und evtl ein EEPROM mit auf dem RTC Board.
Dieses ist dann ein I2C EEPROM

Auf diesem werden doch die Sketches als Hex-Datei draufgeschrieben?

Auch dieses nicht.
Die Programme landen im Flash.

Offensichtlich hast du 4 verschiedene Speicher:
EEPROM extern
EEPROM intern
Flash intern
RAM intern

Das Datenblatt zum jeweiligen Baustein gibt genauere Auskunft, über Größe und Ansprechmethode.

Was ist das eigentlich genau Variablen Überlauf?

Wenn du versuchst größere Werte in eine Variable zu stopfen, als rein passt.

// Beispiel fuer einen Variablen Ueberlauf

void setup()
{
  Serial.begin(9600);
  byte testVariable = 250;
  Serial.println(testVariable);
  testVariable += 6; 
  Serial.println(testVariable);
}

void loop(){}