Een relais in de plaats van de schakelaar zetten is inderdaad de enigste goede oplossing voor het schakelen. Let wel op dat een relais een spoel bevat en dat die bij het uitschakelen een ferme puls reug kan geven. Een stevige diode is zeker nodig. Schema's hiervoor zijn in grote aantallen op het net te vinden.
Voor de verbinding met de telefoon zou ik Bluetooth gebruiken. Dat maakt het programmeren van de app vrij eenvoudig en in principe moet het bereik groot genoeg zijn.
Als je via WiFi wilt gaan zou ik de Arduino op een gewone netwerk kabel aansluiten met een ethernet schield. Je telefoon connecteert dan via Wifi op het netwerk waar je Arduino op hangt.