Ma quindi non si tratta di una pagina web con testo, pulsanti, immagini etc etc?
In realtà dal tuo print-screen sembrerebbe essere ancora più semplice di quanto ipotizzato perché quella è una stringa di testo in formato JSON.
Ci sono molte librerie che ti consentono di fare il parsing del JSON ed estrapolare la coppia di chiave:valore di cui hai bisogno.
Se la scheda che stai usando ha sufficiente RAM (per capirci tipo una ESP8266 oppure ESP32), puoi anche concederti il lusso di salvare prima tutto il JSON in una variabile e poi fare il parsing ad esempio con la libreria ArduinoJSON.
Nel caso in cui la RAM sia poca (tipo Arduino Uno), meglio scegliere una libreria che consente di fare il parsing del JSON direttamente sullo stream dei dati proveniente da client, ad esempio come questa libreria perché la tua pagina JSON potrebbe essere di diversi Kbyte.