Ich rate auch dringend davon ab, am Kabel einer Lampe rumzulöten und bin etwas schockiert, wie ein Lehrer auf die wirre Idee kommen kann, sowas vorschlagen. Sport und textiles Gestalten, oder was? 
Selbst wenn man das für eine gute Idee hielte, müsste man nichts am Kabel löten, sondern es nur durchschneiden und in die Klemmen des Relais schrauben. Das Relaismodul würde ich mir fertig kaufen. Die galvanische Trennung, die notwendigen Kriechstreckenlängen, Tracebreiten usw. tut man keinem Schüler an. Dann haben wir aber schon das nächste Problem: Zugentlastung. Einmal über das Kabel gestolpert, es reißt Steckdosenseitig aus dem Gehäuse und die Enden liegen spannungsführend frei? Also muss das Kabel sauber befestigt werden, so dass es nicht aus dem Gehäuse reißt und so weiter und sofort.
Kann man alles machen, will man aber nicht - vor allem nicht, wenn die Versicherung einem einen Vogel zeigt, wenn die Hütte deswegen abfackelt.
Die richtigen Vorschläge sind hier schon:
- LED-Lampe mit Netzteil kaufen, 240V-Seite von diesem Netzteil in Ruhe lassen.
- Gleichstrom besser gleich mit MOSFET schalten, da lernt man zumindest noch was. Je nach Lampe kann man damit sogar PWM-Dimmen.
- ESP8266 (Wemos D1 Mini) statt Arduino nehmen, da ist dann Wifi gleich drin.