printing of array contents

TO's code:

// dos.ino 
// 30.3.18
int tab[5][5] =    // 5 * 5
{ {1, 2, 3, 4, 5},
  {2, 3, 4, 5, 6},
  {3, 4, 5, 6, 7},
  {4, 5, 6, 7, 8},
  {5, 6, 7, 8, 9}  };
  
void setup() {
  Serial.begin(115200);
  pinMode(13, OUTPUT);     // BlinkLED
  Serial.println("===================================");
  Serial.println("======================= dos.ino ===");
  Serial.println("===== 30.3.18 =====================");
  int sum_horizontal = 0;
  int sum_total = 0;
  int sum_vertical = 0;
  int sum_diagonal1 = 0; // lo-ru  result I    = 25
  int sum_diagonal2 = 0; // ro-lu  result II   = 15 
  int sum_diagonal3 = 0; // lu-ro  result III  =  0
  int sum_diagonal4 = 0; // ru-lo  result IV   =  0
  int product_tab = 0;   //  ????
  byte  i, j;
  //--------------------------------------------------
  Serial.println("             this is the array :");
//  Serial.println();
  for (i = 0; i < 5; i++)
  { for (j = 0; j < 5; j++)
      Serial.print(tab[i][j]);
    {
      Serial.println();
    }
  }
  Serial.println();
  //-----------------------------------
  for (i = 0; i < 5; i++)
  { for (j = 0; j < 5; j++)
    { sum_total += tab[i][j];       //
    }
  }
  Serial.print("       totalsum = ");
  Serial.print(sum_total);
  Serial.println();
  // -------------------------------------------------------------
  for (i = 0, j = 0; i < 5, j < 5; i++, j++) // j = lines
  {                                          // i = columns
    sum_diagonal1 += tab[i][j];
  }
  Serial.print(" diagonal-sum 1 = ");  // I top-down, left-right
  Serial.println(sum_diagonal1);       
  // ---------------------------------------------------------------
  for (i < 5, j = 0; i = 0, j < 5; i--, j++)
  {
    sum_diagonal2 += tab[i][j];
  }
  Serial.print(" diagonal-sum 2 = ");  // II top-down, right-left
  Serial.println(sum_diagonal2);
  // ----------------------------------------------------------------
  for (i = 0, j < 5; i < 5, j = 0; i--, j++)
  {
    sum_diagonal3 += tab[i][j];
  }
  Serial.print(" diagonal-sum 3 = "); // III  bottom-up, left-right
  Serial.println(sum_diagonal3);
  // -----------------------------------------------------------------
  for (i < 5, j < 5; i = 0, j = 0; i--, j--)
  {
    sum_diagonal4 += tab[i][j];
  }
  Serial.print(" diagonal-sum 4 = "); // IV  bottom-up, right-left
  Serial.println(sum_diagonal4);
  // ----------------------------------------------------------------
  for (i = 0; i < 5; i++)
  { for (j = 0; j < 5; j++)
    {
      sum_horizontal += tab[i][j];
    }
  }
  Serial.print("     horizontal = ");         //
  Serial.println(sum_horizontal);

  for (j = 0; j < 5; j++)
  { for (i = 0; i < 5; i++)
    {
      sum_vertical += tab[i][j];
    }
  }
  Serial.print("       vertical = ");    
  Serial.println(sum_vertical);
}
void loop() {
  digitalWrite(13, millis() >> 9 & 1);
}

If you turn on warnings (File / Preferences / Show verbose output during compilation CHECK) you get some of them when compiling your code, like:

warning: left operand of comma operator has no effect [-Wunused-value]

   for (i = 0, j < 5; i < 5, j = 0; i--, j++)

                        ^

For proper use of for statements take a look here (for example): http://www.learncpp.com/cpp-tutorial/57-for-statements/