No se si te he entendido bien 
Creo que lo que quieres hacer es pasar datos al LCD desde el Arduino (línea Tx - salida del Arduino) y recibir datos serie de los sensores (línea Rx - entrada del Arduino):
Sensores ---> |(Rx) Arduino (Tx)| ---> LCD
Si es así, el LCD va por una línea diferente a los sensores y nunca se podrán cruzar datos.
Si el driver y el LCD tienen Rx y Tx, compartiran el bus serie, pero utilizarás líneas diferentes para cada uno y en el código nunca enviarás datos al driver, ni esperaras respuestas del LCD (aunque esto depende del tipo de controlador del driver, que puede que si te quiera responder alguna confirmación).
Ya nos contarás.