Se non ho capito male tu ti colleghi all'AP dell'ESP8266 e poi, con un dispositivo che non spieghi, metti nel browser http://esp8266.local/
Quello che probabilmente succede è che il dispositivo su cui hai il browser non gestisce il Multicast DNS (noto anche come bonjour). Ad esempio Windows non lo supporta tranne forse nelle ultimissime versioni del 10 si è convinta a supportarlo.
Per risolvere devi fare in modo che l'ESP8266 metta su un server DNS.