Non so se hai letto BENE il messaggio di errore :
Arduino:1.5.6-r2 (Windows 8), Scheda:"Arduino Due (Programming Port)"
C:\Program Files\Arduino\libraries\DHT22\DHT22.cpp:52: fatal error: avr/io.h: No such file or directory
compilation terminated.
La due NON monta un processore AVR, ma un ARM e quindi è incompatibile con le librerie scritte per AVR.
Magari, cercando con Google, si trovano alcune cose equivalenti per ARM ... ma ti devi fare tutto da solo modificando il codice ... 
Guglielmo