Revisa los componentes que estan en el RESET.
En este viejo hilo se muestra el capacitor que esta unido con DTR que es una linea que viene del CH340 o del FTDI chips encargados de convertir de USB a Serial, pero con esa linea le dan el autoarranque al sketch.
Es posible que con fuga el capacitor se ponga en LOW o en HIGH y explique lo que comentas.
Puede ser que la linea DTR este metiendo algun problema, eso si el capacitor tiene fuga.
Con el blink cargado, alimenta el arduino con fuente de 6.5V minimo por Vin o por jack
sin conexión USB y vemos si tolera mas de 30 min.