problemi con arduino duemilanove

Salve a tutti, sono nuovo nel mondo di arduino, volevo chiedere una cosa. Ho provato in questi giorni ad alimentare arduino con una batteria da 12 V 1.3 A quelle dei gruppi di continuità, e ho notato che riscalda moltissimo. Provando ad alimentarla con una batteria da 9 V. ho notato che la spia power non accende, ho collegato la scheda al cavo usb ho provato a caricare il programma di prova blink i led TX RX si accendono durante il caricamento ma il piccolo led L collegato al pin 13 alla fine del caricamento del codice non lampeggia. Cosa può essere successo?

Hai collegato la batteria al jack o tramite i pin Vin e GND?
Sei sicuro di non aver invertito la polarità?